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定價核心12分鐘
隨機折現因子：如何連結時間、風險與價格
解釋隨機折現因子如何為未來支付定價、風險溢價與協方差的關係，以及它如何連結狀態價格與風險中性機率
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
隨機折現因子又稱定價核心，是正隨機變量m，透過P = E[mX]把未來支付X轉成目前價格。它既包含一般時間折現，也提高經濟困難狀態下資金的權重，因而能在同一框架表達時間價值與風險價格
一條方程為多種資產定價
一期後支付X的目前價格P，在現實機率下滿足P = E[mX]
同一個m須為模型內所有資產定價，這項共同限制讓不同證券能作一致比較
m按狀態把未來一單位轉為現值，並非向所有結果套用單一固定折現率
邊際效用提供經濟解釋
在代表性消費者模型，m與折現後的未來邊際效用除以當前邊際效用成比例
消費匱乏時邊際效用較高，該狀態的支付更有價值，m亦較高
此解釋依賴偏好和均衡假設，但定價方程本身不必採納特定效用模型
風險溢價來自協方差
總報酬R滿足E[mR] = 1，展開為E[m]E[R] + Cov(m,R) = 1
資產若在m較高的壞狀態表現差，保險作用較小，通常要有較高預期報酬
在壞狀態支付良好的資產與m正向共變，或會因保險價值而價格較高、預期報酬較低
無風險利率固定平均值
已知一期無風險總報酬R_f時，E[m]R_f = 1，因此E[m] = 1/R_f
m的平均值處理一般時間折現，狀態間的變化則產生風險調整
m若是常數，模型只餘時間折現，不會出現由協方差產生的風險溢價
狀態價格與風險中性機率是重新縮放
離散狀態的現實機率為p_s時，狀態價格q_s等於p_s乘以該狀態的m_s
以債券價格把狀態價格標準化便得風險中性機率，三種形式以不同單位描述同一定價作用
p_s是現實頻率，q_s是現值權重，標準化q_s是定價機率，三者不可混為一談
不完全市場中未必唯一
若可交易支付不能覆蓋所有狀態，多個正隨機折現因子都可解釋同一組資產價格
未被複製的支付需要額外模型或準則定價，與等價鞅測度不唯一屬同一問題
無限制統計估計亦可能產生負m，違反強無套利結果所需的正定價核心條件
實證檢驗使用矩條件
候選模型要求每項受檢報酬滿足E[mR_i] = 1，樣本偏差同時包含定價和估計誤差
Hansen–Jagannathan界把有效m的波動與可達夏普比率相連，限制過分平滑的消費定價核心
評估時應披露資產集、期限、條件資料、報酬口徑、抽樣誤差及m是否維持正值
常見問題
如何簡單理解隨機折現因子？
它是把未來支付轉成目前價格的狀態權重，對經濟困難時收到的資金給予較高價值
折現因子為何是隨機的？
同樣一塊錢在資源匱乏時或比富足時更有價值，因此權重隨未來狀態改變
它如何解釋風險溢價？
在m較高的壞狀態表現欠佳的資產保險價值低，通常需要較高預期報酬
隨機折現因子總是唯一嗎？
支付空間完全時唯一；存在不能複製的風險時，可能有多個因子為相同資產定價
資料來源與延伸閱讀
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