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敏感度計算約12分鐘
選擇權定價中的數值希臘字母詳解
理解擾動重估、路徑導數、概似比和伴隨方法如何估計選擇權希臘字母，以及如何診斷數值誤差
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
數值希臘字母在沒有解析公式或公式不足時估計選擇權價值的導數。擾動重估、路徑導數、概似比和伴隨方法，在偏誤、變異數、光滑條件與計算成本之間做出不同取捨，因此必須配合誤差與收斂驗證
希臘字母是評價規則的導數
Delta對現貨求導，Vega對波動率座標求導，Rho對利率輸入求導，Gamma則對現貨再次求導
導數屬於指定模型、市場資料構造和固定慣例。改變波動率曲面的移動規則也會改變希臘字母
封閉解導數方便，但複雜報酬、校準模型、提前履約和大型投資組合往往需要數值估計
擾動重估是通用基準
將一項輸入提高小幅 h，重新定價並與基準比較。中央Delta使用 [V(x+h) − V(x−h)] / 2h
Gamma使用二階差分，邊界或只有一個有效方向時可用單邊差分
方法將定價器視為黑箱，適用範圍廣，但每項風險因子可能都需要額外完整重估
擾動步長平衡截斷誤差與雜訊
過大擾動衡量寬廣區間的曲率而非局部導數，造成截斷偏誤
過小擾動要相減幾乎相同的價格，放大捨入、求解容差、插值和蒙地卡羅抽樣誤差
測試一系列步長並尋找穩定區域。最佳 h 取決於單位、導數階數、報酬光滑度與數值精度
共用隨機數降低蒙地卡羅雜訊
重估擾動情境時重用相同隨機數，讓路徑差異來自輸入變化，而不是無關樣本
這種配對可大幅降低變異數，但不會消除有限擾動偏誤或自動修正不連續報酬
應報告希臘字母本身的標準誤。看似穩定的價格估計在差值除以 h 後仍可能十分嘈雜
路徑導數微分每條模擬報酬
路徑方法沿每條路徑微分模擬狀態和報酬，再對導數樣本取平均
它對光滑報酬較有效率，可從一次模擬估計多個敏感度，但導數與期望交換需要條件
數位選擇權、障礙、履約決定和校準折點可能破壞普通路徑微分，需要平滑或專門處理
概似比估計量微分機率
概似比方法微分模擬密度而非報酬，再將報酬乘以得分函數
由於不必微分報酬本身，它可處理路徑方法難以應付的部分不連續報酬
其變異數可能很高，尤其是高階或深度價外風險。混合估計量可結合兩種方法的優點
伴隨方法反向傳播敏感度
伴隨演算法微分如同反向模式微分，沿評價計算向後傳播敏感度
當少量投資組合輸出依賴大量市場輸入時特別有利，例如殖利率曲線節點或波動率曲面節點
記憶體、分支、反覆求解器、校準和非光滑邏輯要謹慎實作，自動微分不保證風險定義有意義
驗證需要獨立方法與不變量
以簡單合約的解析值比較，再用第二種估計量或較大重估衝擊交叉檢查實務報酬
測試符號、單位、縮放、平價敏感度、彙總、對稱性、收斂、標準誤和報酬邊界反應
記錄擾動輸入時哪些對象一同移動。固定履約價、固定Delta、重新校準與凍結曲面的風險回答不同問題
常見問題
什麼是擾動重估？
它改變一項模型輸入，重新執行評價，再以價格變化除以輸入變化近似敏感度
希臘字母的擾動應有多小？
既要足夠局部，也要大於數值雜訊。測試多個步長比任意選一個更安全
什麼是路徑導數與概似比希臘字母？
路徑方法微分模擬報酬，概似比方法則微分產生路徑的機率密度
為何用伴隨微分計算希臘字母？
當輸出較少而輸入很多時，它可有效計算對大量輸入的敏感度
資料來源與延伸閱讀
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