動差爆炸與 Lee 動差公式詳解

對非負到期價格 S_T，E[S_T^r]在 r 為正時強烈加權高價格，在 r 為負時強烈加權接近零的價格

有限變異數只涉及一個階數；選擇權翼則與全部有限正動差和逆動差定義域的邊界有關

這些是固定期限的風險中立動差，不是實際報酬的樣本估計，也不是對未來發生頻率的承諾

對階數 r，定義爆炸時間 T_c(r)=sup{t:E[S_t^r]<∞}；一些模型對極端 r 具有有限 T_c(r)

即使隨機過程逐路徑保持良好定義，極少數結果也可能讓高階期望變成無窮

因此動差爆炸不同於變異數觸零、模擬狀態變負或資產路徑在有限時間發散

期限 T 的右尾定義 p_c=sup{p≥0:E[S_T^{1+p}]<∞}，左尾定義 q_c=sup{q≥0:E[S_T^{-q}]<∞}

p_c越大表示有限正動差越多，容許的右尾越輕；q_c對接近零的左尾給出類似資訊

臨界值取決於期限、模型參數、定價測度，以及端點是否包含在定義域的慣例

在一致遠期慣例下，令 k=log(K/F_T)，總隱含變異數 w(k,T)=σ_imp(k,T)²T

右翼滿足 limsup_{k→∞}w(k,T)/k=ψ(p_c)，其中 ψ(x)=2−4(√(x²+x)−x)；左翼使用 ψ(q_c)

函數 ψ 從 2 降至 0，因此有限動差越少，容許的漸近翼越陡；有限動差越多，翼斜率越平

公式針對極端對數價值度的 limsup，不是上市履約價的局部偏斜，也不是從某個切點開始的精確直線

它由動差資訊決定漸近斜率，卻不決定截距、曲率、收斂速度或有限履約價的微笑形狀

無套利提供框架，但實用波動率曲面仍須在履約價與期限間符合日曆和蝶式一致性

在 Heston 等仿射波動率模型中，指數動差與實轉換參數處的廣義 Riccati 解相關

某個動差階數的 Riccati 解可能爆炸，因此可從模型參數計算爆炸時間或臨界動差

實頻率上的特徵函數可能仍有效，但選擇權轉換要求的複位移可能位於有限動差域之外

按期限計算 p_c與 q_c，單獨驗證鞅條件，並檢查轉換阻尼是否位於有限動差條帶內

把擬合翼斜率與 Lee 邊界、實際報價範圍、靜態套利檢驗和參數不確定性比較，而非只看一個外推點

臨界動差若不穩定，應視為模型風險證據；很小的校準變化可能在流動履約價之外造成巨大差異