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局部公平與整體損失閱讀約14分鐘
局部鞅與嚴格局部鞅詳解
理解局部化、期望損失、正嚴格局部鞅、泡沫模型、測度轉換，以及期權定價中的模型診斷
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
局部鞅在進入一系列不斷擴大的危險區域前停止後，會像真正的鞅一樣運行。嚴格局部鞅在整體上並非真鞅：即使沒有局部漂移，可積性仍可能失敗，非負過程的期望亦可能隨時間下降
局部化控制困難路徑
若停止時間τ_n幾乎必然遞增至無窮，且每個M_{t∧τ_n}都是鞅，則適應過程M是局部鞅
這些停止時間可限制大幅偏離或隨機積分，使每個局部區域的條件期望都可控
局部化是逐步擴大安全區域的證明工具，並非只在較短日曆期限內近似為鞅
真鞅需要整體可積性
每個真鞅都是局部鞅，但反向結論需要額外條件，才能把極限穿過條件期望
一致可積性或適當的控制上界，是證明這種極限交換的常見條件
若缺少控制，隨局部化邊界遠去，機率質量可能經由愈來愈罕見的極端路徑逸出
非負性給出超鞅而非等式
藉助Fatou型論證，非負局部鞅是超鞅，所以s ≤ t時E[M_t] ≤ E[M_s]
適當可積條件下若期望保持不變，它是真鞅；若存在實際期望缺口，它就是嚴格局部鞅
因此局部漂移為零本身並不保證無條件期望恆定
隨機指數需要鞅檢驗
隨機指數是正局部鞅，也是測度轉換中密度過程的自然候選
Novikov或Kazamaki條件可證明真鞅性質，但它們是充分檢驗而非可互換的定義
若候選密度是嚴格局部鞅，終端期望小於一，未經額外處理便無法定義預期的等價機率測度
嚴格性可表示模型中的泡沫
在某些資產定價定義中，貼現後的非負嚴格局部鞅，其市場價格高於較小的基本期望價值
兩者的期望差常稱為鞅缺陷，用來量化這項依賴模型的差距
這只是在指定測度、資訊、容許策略和定價規則內的陳述，不會自動證明真實資產被高估
熟悉的期權恆等式可能需要修正
標準賣權買權平價與買權的到期日單調性，通常使用貼現標的是真鞅這項性質
嚴格局部鞅模型中，平價可能加入缺陷項，認購價值亦可能取決於擔保品或容許性約定
應從模型的期望和交易假設重新推導恆等式，而非原樣套用無套利公式
使用價格前先診斷模型
應檢查期望守恆、邊界行為、爆炸、一致可積性，以及任何密度過程的有效性
Monte Carlo可能錯過造成期望損失的罕見路徑，因此穩定的樣本均值只是很弱的證據
把PDE邊界條件、漸近結果、嚴格性判準、截斷敏感度與鞅缺陷估計結合模擬使用
常見問題
真鞅與局部鞅有何分別？
真鞅滿足整體可積性與條件期望等式；局部鞅只在適當停止後滿足這些條件
什麼使局部鞅成為嚴格局部鞅？
它是局部鞅卻不是真鞅；對非負過程，常表現為可積性失敗或期望下降
正局部鞅的期望能上升嗎？
不能。非負局部鞅是超鞅，期望不會上升，但有可能保持不變
嚴格局部鞅為何影響期權？
它會引入鞅缺陷、改變熟悉的平價，並使價格對邊界和容許性約定敏感
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權