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PDE與期望的橋樑閱讀約14分鐘
Feynman–Kac公式與期權定價
理解Feynman–Kac如何連接線性定價PDE與折現條件期望，包括生成元、現金流、數值方法和適用邊界
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Feynman–Kac公式把適當線性拋物型偏微分方程的解，表示為擴散路徑上的條件期望。在金融中，它把風險中性定價方程轉換為逐路徑折現後，對到期給付與期間現金流求平均所得的價值
擴散生成元決定局部演化
令dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s，生成元為Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
生成元概括狀態的平滑函數在瞬間的條件變化
它連接路徑模型和微分方程，但不表示不可微隨機路徑本身具有一般導數
反向PDE從終端條件出發
考慮∂_t u + Lu - r u + f = 0，終端條件為u(T,x) = g(x)
g是到期給付，r是折現或消減率，f是連續源項，其符號遵循所聲明的PDE約定
狀態擴散向前發展，但T時的值已知，所以估值從終端向當前反向求解
條件期望給出表示
在正則性與可積條件下，u(t,x)等於折現g(X_T)加累計折現f的條件期望
若D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv)，則為E[D_{t,T}g(X_T)+∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
對D_{t,s}u(s,X_s)應用Itô公式，其漂移變為源項的相反數，取期望即可得到等式
折現是算子的一部分
常數短期利率給出e^{-r(T-t)}，但狀態相關利率需要逐路徑積分
期間股息、票息、成本或源項通過時間積分進入，而不是藏在到期給付中
改變PDE符號亦會改變表示，應把算子、終端條件和時間方向作為一個整體
風險中性期權定價是一個特例
在有效定價測度下，折現交易資產的動態決定L，衍生工具價值滿足相應定價PDE
沒有期間給付的歐式請求權，其價格就是折現到期給付的條件期望
Black–Scholes只是這座橋的一個實例，不是Feynman–Kac的定義，也不證明所有市場完備
PDE與Monte Carlo指向同一價值
有限差分在網格上求解反向方程，Monte Carlo則估計向前路徑的期望
獨立實現之間的一致，是檢查符號、折現、邊界條件和取樣誤差的有力方法
低維曲面和邊界適合PDE；狀態眾多或路徑函數使網格昂貴時更適合模擬
定理有條件與邊界
經典形式要求係數、增長、正則性、可積性與唯一性條件，黏性解等弱理論擴大適用範圍
美式行使會產生障礙或變分不等式，非線性融資和控制問題不屬於簡單線性公式
跳躍把擴散PDE變為積分微分方程，路徑依賴通常需要擴充狀態或採用其他方法
常見問題
如何簡單理解Feynman–Kac公式？
某類微分方程的值，可以通過平均相關隨機過程的折現結果來計算
為何定價PDE要反向求解？
因為到期支付已經給定，要從已知終端值向今天傳播價值
它等同於風險中性定價嗎？
不等同。風險中性模型給出測度和生成元，Feynman–Kac連接其線性PDE與期望
標準公式能直接定價美式期權嗎？
不能。提前行使把等式轉化為障礙問題或最優停止表示
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權