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指數測度傾斜閱讀約14分鐘
Esscher轉換與期權定價詳解
理解指數傾斜、累積生成函數位移、Lévy測度改變、鞅參數選擇、不完備市場和存在性檢驗
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Esscher轉換用e^{θx}為結果x賦予權重，再以動差生成函數正規化，從而改變機率。在指數型資產模型中，可以選擇θ使轉換測度下的折現價格成為鞅，由此構造一個可用於定價的機率測度
指數傾斜改變結果權重
對M(θ) = E[e^{θX}]有限的隨機變數X，定義dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
正θ強調較大結果，負θ強調較小結果，正規化使新權重總和為一
轉換改變機率而非觀測結果，並且只在所需指數矩有限的區域存在
累積生成函數發生平移
在矩定義域內令κ(u) = log E[e^{uX}]
Esscher測度下κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
若導數有限，κ_θ在零處的導數給出傾斜後的矩，便於鞍點近似和風險計算
過程需要時間一致的密度
對Lévy過程X_t，密度過程為Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
若θ位於有效矩定義域，平穩獨立增量使Z成為正鞅
在Q_θ下過程仍為Lévy，但漂移和跳躍規律改變，路徑與零機率事件保持相容
Lévy測度被指數傾斜
在適當約定下，跳躍測度變為ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
布朗方差不變，漂移根據布朗傾斜、跳躍補償和截斷約定調整
若不說明截斷函數，只比較漂移參數會產生虛假的差異
鞅條件選擇定價參數
對持有成本為r-q的S_t = S_0e^{X_t}，折現鞅要求κ_θ(1) = r-q
若兩個指數矩均存在，等價地求解κ(θ+1) - κ(θ) = r-q
方程可能無解或有唯一解，並在矩邊界附近數值不穩定，所以參數選擇不是自動的
Esscher是不完備市場中的一種選擇
跳躍風險通常無法完全複製，因此可能有多個等價鞅測度滿足無套利
Esscher規則選擇保持指數傾斜模型族的一種測度，但無套利本身不會使它優於所有替代方案
經濟偏好、校準目標、熵判準、對沖目的或市場約定可能要求其他測度
驗證必須覆蓋尾部
檢查θ與θ+1的矩定義域、密度正規化、等價支撐、鞅等式和轉換後的三元組
樣本內θ穩定亦可能隱藏不穩定的尾部外推，應按期限與市場狀態重新校準
比較其他容許測度下的期權價格和對沖誤差，以揭示Esscher選擇的模型風險成本
常見問題
如何簡單理解Esscher轉換？
它對較大或較小結果給予指數級更多權重，再把總和重新正規化為一
期權定價如何選擇θ？
通常選擇使模型折現資產價格在轉換測度下成為鞅的θ
Esscher轉換總是存在嗎？
不是。所需指數矩必須有限，而且鞅方程可能沒有容許解
Esscher鞅測度唯一嗎？
參數在Esscher族內可能唯一，但其他等價鞅測度仍可存在
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
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