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變異數不存在時取代鐘形曲線的分布閱讀約15分鐘
金融中的Stable Distribution與無限變異數
理解Alpha-stable分布、廣義中央極限定理、無限變異數、尾部參數、聚合與早期金融證據，以及採用穩定模型前所需的診斷
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Stable Distribution把獨立副本相加並調整位置與尺度後，仍留在同一分布族。非常態Alpha-stable規律具有冪律尾部與無限變異數，因此√n縮放、傳統波動率和變異數推斷可能失效。穩定性在數學上一致，但仍是需要實證選擇與驗證的模型
穩定性是加法下的性質
若對獨立副本X_1、X_2和正數a、b，aX_1+bX_2與某個c>0、d下的cX+d同分布，則該分布穩定
這種封閉性讓總和保持在同一形狀分布族內，因此自然適合聚合
常態分布是α=2的穩定成員；穩定並不自動表示重尾或無限變異數
四個參數描述一元穩定律
穩定指數α位於(0,2]，偏斜β位於[−1,1]，尺度與位置在聲明參數化下決定大小和中心
α<2時，在非退化條件下尾部以指數α正則變化，極端值遠比常態模型常見
穩定密度通常沒有初等閉式，且參數化尤其在α=1附近不同，所以軟體約定非常重要
動差的存在會改變風險含義
α<2的非常態穩定律具有無限母體變異數，即使每個有限資料集的樣本變異數都有限
絕對一階動差僅在α>1時有限；α≤1時傳統母體均值通常也不存在
不斷增大的樣本變異數或不穩定均值與重尾一致，卻不能單獨證明動差無限
廣義中央極限定理解釋該分布族
若獨立同分布變數的標準化總和收斂到非退化極限，可能的極限必為穩定律
有限變異數輸入導向Gaussian α=2，適當正則變化輸入則可能導向α<2穩定極限
聚合尺度是n^(1/α)而非√n，中心化方式取決於α和參數化
穩定律擁有悠久金融歷史
Mandelbrot觀察到投機價格變化中的大幅變動遠多於Gaussian模型，因而提出Stable Paretian規律
Fama研究了Stable Paretian報酬，以及沒有有限變異數時分散投資如何成立
後來發現的波動率聚集、截斷尾部和狀態變化說明，精確iid穩定性並非重尾報酬的唯一解釋
無限變異數是一項強結構聲明
精確α<2模型代表任何期限都沒有有限母體變異數，而不只是變異數很大或難以估計
Tempered stable、截斷穩定、混合、跳躍、GARCH和隨機波動率模型可保留有限動差並模擬有限樣本重尾
有限資料難以區分真正無限尾部與非常遙遠的有限截點，因此不能只憑對數圖的一段直線作結論
驗證必須同時檢查聚合與尾部
用多種方法估計α及其不確定性，並檢查特徵函數擬合、分位數、超越值與參數穩定性
檢驗不同期限的總和是否按預測重新縮放，以及擬合後是否仍有殘差相依或波動率聚集
與有限變異數替代模型比較預測尾部覆蓋和決策，並報告擬合模型認為哪些動差不存在
常見問題
什麼是Stable Distribution？
它是獨立副本相加並調整位置與尺度後，仍屬於同一分布族的機率分布
所有Stable Distribution都有無限變異數嗎？
不是。Gaussian α=2成員有有限變異數，所有α<2的非常態穩定律都有無限變異數
為何樣本變異數仍是有限數？
任何有限個有限觀測算出的變異數都有限，即使模型的母體二階動差無限
金融報酬真的服從Alpha-stable嗎？
某些範圍可能相似，但截斷、波動率聚集、混合與狀態變化也能產生相近資料
資料來源與延伸閱讀
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