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波動率衡量閱讀約 9 分鐘
已實現波動率計算：報酬、視窗與年化
掌握已實現波動率公式，理解對數報酬、平均值與年化規則為何重要，以及取樣選擇如何改變與隱含波動率的比較
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
已實現波動率是從已發生的價格變動計算出的年化標準差。常見的收盤到收盤版本採用每日對數報酬、明確的平均值規則與√252年化，但不存在適合所有目的的唯一慣例，視窗與取樣也必須公開
先固定價格序列
選定標的、觀察時點、時區，以及調整或未調整價格。若拆股與分配的處理不一致，就會產生虛假報酬
每個收盤報酬需要兩個連續有效收盤價。缺失日期、假日、陳舊價格、暫停交易與不同交易時段的截止規則都應交代
把價格轉換為報酬
對數報酬為rₜ = ln(Sₜ ÷ Sₜ₋₁)，簡單報酬為Sₜ ÷ Sₜ₋₁ − 1。變動小時兩者相近，變動大時差距擴大，不能在公式中無聲混用
對數報酬可跨連續期間相加，簡單報酬直接對應財富百分比變化。選擇應配合所評估的基準或商品
選擇平均值與除數
一種估計會扣除樣本平均值後計算平方偏差；另一種把短期平均值設為0並平均對數報酬平方。Cboe RVOL在其指數定義採用零平均值
估計樣本平均值會占用一個自由度，樣本變異數常用N−1。定義明確的指數可用N與零平均值；離開具體用途後沒有唯一正確規則
先估計期間變異數再年化
對N個零平均每日對數報酬，常見公式為√((252 ÷ N) × Σrᵢ²)，再乘100以年化百分比顯示
先將期間變異數乘以年化因子，再取平方根。在波動率穩定且報酬不相關的假設下，每日波動率按√252而不是252縮放
採用曆日的選擇權指標與採用交易日的已實現指標，對週末及隔夜風險的處理不同；年化無法消除這項差異
視窗會改變問題
5日視窗反應快但雜訊多；252日較平滑，卻難以及時反映新狀態。滾動視窗共用觀察值，連續讀數會機械性相關
今日30日隱含波動率與過去30日已實現波動率只是描述性比較。檢驗風險溢酬需要進場後相同期限的實現值，而它在進場時仍未知
收盤到收盤只是一種估計
收盤報酬結合交易時段與隔夜變化，卻忽略日內路徑。最高最低價、OHLC與日內已實現估計會使用更多資訊
市場微結構雜訊、買賣價反彈、不規則成交與跳躍都可能讓高頻估計偏誤。觀察次數更多不代表結果一定更好
公開輸入並避免前視
說明簡單或對數報酬、樣本、觀察數、年化因子、平均值、假日與缺失處理。沒有這些輸入，單獨一個波動率百分比無法重現
與隱含波動率比較時，統一標的、期限、終點、年化與單位。把未來視窗完成後的已實現波動率視為進場時已知，會造成前視偏誤
常見問題
年化已實現波動率公式是什麼？
常見零平均每日公式為100 × √((252 ÷ N) × Σrᵢ²)，其中rᵢ為小數對數報酬；其他估計會扣除樣本平均值
應使用對數還是簡單報酬？
對數報酬可跨時間相加，簡單報酬直接對應財富變化。兩者都能採用，但必須一致並公開規則
為什麼使用252？
它約等於美國市場每年的交易日數。其他市場、曆日指標與日內研究可能需要不同因子
歷史波動率與已實現波動率相同嗎？
用過去報酬計算時兩詞常互換使用。「已實現」也可指某契約未來期間結束後，在該段時間真正發生的波動率
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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