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風險表示12分鐘
鞅表示定理：隨機積分為何能成為動態對沖
解釋鞅如何寫成隨機積分、積分項怎樣變成對沖部位，以及表示能力如何決定市場完備性
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
鞅表示定理指出，在由Brown運動等指定風險驅動因素產生的資訊流中，每個合適鞅都可寫成初值加上相對這些因素的隨機積分。在金融中，若可交易資產覆蓋相同驅動因素，積分內的風險承擔便可轉成動態對沖
必須先指定資訊來源
鞅相對資訊流F_t定義，F_t表示隨時間可取得的資訊
標準Brown定理中，F_t由Brown運動產生，並補充一般零測集
擴大資訊流可能加入原驅動因素不能表示的風險，從而改變定理的應用結果
定理把鞅變成積分
對平方可積Brown鞅M，存在可預測過程φ，使M_t = M_0 + ∫_0^t φ_u dW_u
等價地，合適終值變數H滿足H = E[H] + ∫_0^T φ_u dW_u
在相關可積慣例下φ唯一，其維數取決於驅動資訊的Brown風險數目
積分項變成對沖比例
在定價測度下，通常條件成立時，請求權的折現價值過程是鞅
以可交易資產的相同雜訊表示該價值，可找出每時點須配對的風險承擔
把鞅積分項映射到資產波動率載荷方程，便得到股票或其他風險證券的部位
表示能力連結市場完備性
若可交易資產收益覆蓋驅動鞅風險的每個分量，合適的或有請求權便可複製
Brown擴散模型中，關鍵是波動率載荷矩陣的秩，而不只是資產名稱數目
完整表示配合標準無套利條件，支持唯一的等價定價測度
額外風險會破壞可交易表示
未交易Brown因素、跳躍、違約時間或擴大的資訊可能加入資產不能覆蓋的鞅分量
請求權鞅於是含有可用自我融資策略不能消除的正交殘差
數學上可在較大驅動集合表示，但若驅動因素不能交易，金融市場仍不完備
不完備性改變價格與對沖選擇
沒有精確複製時，無套利可能允許多個鞅測度和一個請求權價格區間
最小方差、效用、無差異定價或超級對沖，會以不同方式處理未覆蓋分量
選擇哪項準則屬經濟輸入，並非單靠表示定理決定
驗證必須逐項配對假設
應列明資訊流、機率測度、驅動集合、可積類別、可接受策略與資產波動率矩陣
檢查積分項的可預測性和平方可積性，以及轉成部位時矩陣的秩和數值穩定性
把殘差收益與交易成本、離散誤差分開；樣本殘差小不能證明理論完備
常見問題
如何簡單理解鞅表示定理？
它表示合適鞅的所有新變化，都可由對指定隨機驅動因素的可預測承擔累積而成
資訊流為何重要？
它定義存在哪些資訊與意外；擴大資訊流或會加入原驅動因素不能表示的風險
數學表示一定保證可交易對沖嗎？
不保證；數學驅動因素還須由實際可交易證券的收益覆蓋，並符合可接受策略
它與市場完備性有何關係？
若可交易收益能表示並複製所選資訊結構內每個相關請求權鞅，市場便是完備的
資料來源與延伸閱讀
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