Gärtner–Ellisの定理を理解する

確率ベクトルZ_nと速度a_n→∞に対し、Λ_n(θ)=a_n^{-1}log E[exp(a_n⟨θ,Z_n⟩)]と置きます

Λ_n(θ)が明示した定義域で拡張実数値関数Λ(θ)へ各点収束すると仮定します

この極限は稀な確率を測るものと同じスケールで指数モーメントの成長率を記録します

候補はΛ*(x)=sup_θ{⟨θ,x⟩−Λ(θ)}というLegendre–Fenchel変換です

Λが微分可能なら、目標xを∇Λ(θ)=xを満たすティルトθと対応させられます

Λ*(x)はその測度ティルトの下でxを典型化する指数的費用です

定理は通常、指数的緊密性の条件下で閉集合に対する上界を与えます

基本的な下界は、一つの支持超平面が目標を明確に選ぶΛ*の露出点だけを覆うことがあります

本質的平滑性、下半連続性、有限な定義域境界でのsteepnessが完全な下界への拡張を支えます

ゼロ近傍で対数モーメント母関数が有限なiid観測の標本平均は標準条件下でΛ*をレートに持ちます

Gärtner–Ellisはスケール変換の極限が分かれば、依存または非同一分布の族にも使えます

ただし極限、指数的緊密性、境界正則性の証明自体が最も難しい部分になり得ます

リスク中立対数リターンの長時間・短時間・小ノイズ極限はテールとOTMオプションの漸近式を与え得ます

主要な価格減衰を基準価格と対応させると、同じ極限で主要なインプライド・ボラティリティを得られます

価格測度、マルチンゲール条件、権利行使価格のスケール、変換定義域を一貫させます

Legendre–Fenchel変換は真の稀な事象レートが非凸でも常に凸です

非平滑なΛは競合状態を表し、双対には線形区間や複数の最適ティルトが生じ得ます

機械的な双対化は凸包だけを返し、直接の大偏差解析が必要な状態を失うことがあります

広げたθ格子でΛ_nの収束、有限性、凸性、導関数、境界成長を調べます

複数のスケールでΛ*(x)をシミュレーション対数確率や独立漸近式と比較します

露出点の範囲、指数的緊密性、最適解の一意性、マルチンゲール、派生価格の静的無裁定を記録します