極值理論與Tail Index

中央極限定理處理標準化的和，而EVT研究最大值、最小值或超過高門檻的觀測

即使模型很好地擬合普通報酬，中心區域也很少包含遠尾資訊，因此仍可能嚴重誤判崩盤機率

EVT縮小可能的極限尾部形式，卻不會讓有限樣本足夠極端，也不會消除市場的非平穩性

在經典吸引域條件下，區塊最大值M_n的任何非退化標準化極限都屬於廣義極值分布族

當括號為正時，可寫成G(z)=exp{−[1+ξ(z−μ)/σ]^(−1/ξ)}，ξ=0時取連續的Gumbel極限

位置μ決定水準，尺度σ決定離散程度，形狀ξ決定極限尾部類型

ξ>0是具有重冪尾的Fréchet型，ξ=0是Gumbel型，ξ<0是有有限上端點的Weibull型

重尾文獻也常把冪指數α=1/ξ稱為Tail Index，因此不同領域的Tail Index可能指ξ或α

ξ越大尾部越重，而α越大冪尾越輕，所以必須聲明採用哪一種約定

Hill、Pickands、機率加權矩和概似估計量使用最大觀測的不同部分或摘要

使用太少極值會產生高變異，使用太多則引入中心觀測並讓尾部近似產生偏差

未說明所選順序統計量、門檻規則、不確定區間與穩定路徑的Tail Index估計並不完整

金融報酬並非獨立同分布，波動率狀態可能讓數次巨大損失緊密相鄰

在適當的平穩相依條件下，極值指數概括聚集程度，低於一代表有效獨立極值更少

過濾波動率或去聚集可能有幫助，但兩者都增加假設，機械應用還可能抹去真實的危機持續性

估計尾部模型與超越率後，可以把高分位VaR延伸至日常觀測到的最大損失之外

Expected Shortfall需要有限尾均值；對廣義Pareto重尾這要求ξ<1，更高階矩還需要更嚴格條件

離門檻越遠，外推不確定性成長越快，多報告幾位小數並不會創造更多資訊

在多個合理門檻或區塊長度上檢查平均超越、參數穩定性、分位數、機率與重現水準圖

改變視窗、過濾、去聚集規則、估計量與危機樣本後重新估計，並保留全部選擇的稽核記錄

前所未見的機制未必只是歷史極值的放大版，因此應把EVT與情境分析和結構性壓力測試並用