확률할인인자: 위험과 시간의 가격을 하나로 묶는 방법

한 기간 뒤 지급액이 X라면 오늘 가격 P는 현실확률 아래 P = E[mX]를 만족합니다

모형에 포함된 모든 자산에는 같은 m이 적용되어야 합니다. 이 공통 제약 덕분에 서로 다른 증권의 가격을 일관되게 비교할 수 있습니다

m은 미래의 1원을 상태별 현재가치로 환산합니다. 모든 상황에 같은 하나의 할인율을 적용하는 것과는 다릅니다

대표 소비자 모형에서 m은 할인한 미래 한계효용을 현재 한계효용으로 나눈 값에 비례합니다

소비가 부족해 한계효용이 높은 나쁜 상태에서는 지급액의 가치도 커지므로 m이 높습니다

이 해석은 선호·소비·균형 가정에 의존합니다. 그러나 특정 효용모형을 받아들이지 않아도 가격결정식 자체는 사용할 수 있습니다

총수익률 R에는 E[mR] = 1이 성립합니다. 전개하면 E[m]E[R] + Cov(m,R) = 1입니다

m이 높은 나쁜 상태에서 수익이 낮은 자산은 보험 역할을 못 하므로, 일반적으로 투자자를 끌어들이기 위해 더 높은 기대수익률이 필요합니다

반대로 어려운 상태에서 잘 지급하는 자산은 m과 양의 공분산을 가집니다. 보험 가치 때문에 가격은 높고 기대수익률은 낮을 수 있습니다

한 기간의 확정 총무위험수익률이 R_f라면 E[m]R_f = 1이므로 E[m] = 1/R_f입니다

m의 평균은 보통의 시간 할인을 맡고, 상태별 변동은 위험에 따른 가격 조정을 만듭니다

m이 상수라면 이 모형에는 시간 할인만 남고 공분산에서 생기는 위험프리미엄은 사라집니다

현실확률이 p_s인 이산 상태에서 상태가격 q_s는 p_s와 그 상태의 할인인자 m_s를 곱한 값입니다

상태가격을 채권가격으로 나누어 정규화하면 위험중립확률이 됩니다. 세 표현은 같은 가격결정 작용을 서로 다른 단위로 기록합니다

p_s는 발생 빈도의 모형이고 q_s는 현재가치 가중치이며, 정규화한 q_s는 가격결정용 확률이라는 해석 차이를 지켜야 합니다

거래되는 지급액이 모든 상태를 복제하지 못하면, 관측된 자산을 똑같이 평가하는 양의 확률할인인자가 여러 개 존재할 수 있습니다

복제되지 않는 지급액에 가격을 붙이려면 추가 모형이나 선택 기준이 필요합니다. 마팅게일 측도가 여러 개인 것과 같은 문제입니다

제약 없는 통계 추정은 음의 m을 만들기도 합니다. 이는 강한 무차익 해석에 필요한 양의 커널 조건을 위반합니다

후보 모형은 시험하는 모든 수익률에 E[mR_i] = 1을 함의합니다. 표본식의 오차는 가격결정 오차와 추정 불확실성을 함께 담습니다

Hansen–Jagannathan 경계는 유효한 m의 변동성과 달성 가능한 샤프비율을 연결해 지나치게 매끄러운 소비 기반 커널을 제약합니다

자산 집합·기간·조건부 정보·수익률 표기·표본오차·m의 양수 여부를 함께 공개해야 모형의 성패를 판단할 수 있습니다