금융의 Stable Distribution과 무한분산

독립복사본 X_1,X_2와 양의 a,b에 대해 aX_1+bX_2가 어떤 c>0,d에 대한 cX+d와 같은 법칙이면 그 분포는 안정적입니다

이 닫힘성 덕분에 합을 내도 같은 분포모양 족 안에 남으므로 합산모형으로 자연스럽습니다

정규분포는 α=2인 안정분포 구성원이며 안정적이라는 말이 언제나 무거운 꼬리나 무한분산을 뜻하지는 않습니다

안정지수 α는 (0,2], 비대칭 β는 [−1,1]에 있고 척도와 위치가 선언된 매개화 아래 크기와 중심을 정합니다

α<2이면 비퇴화 조건 아래 꼬리는 α 지수의 정칙변동을 보여 정규분포보다 극단값이 훨씬 자주 나타납니다

안정밀도는 대개 초등적 닫힌형식이 없고 특히 α=1 근처에서 매개화가 다르므로 소프트웨어 규약이 중요합니다

α<2인 비정규 안정법칙은 모든 유한자료의 표본분산이 유한해도 모집단 분산이 무한합니다

절대일차적률은 α>1일 때만 유한하며 α≤1이면 통상적인 모집단 평균도 일반적으로 존재하지 않습니다

커지는 표본분산이나 불안정한 평균은 무거운 꼬리와 일치하지만 그것만으로 무한적률을 증명하지는 못합니다

독립동일분포 변수의 정규화된 합이 비퇴화 한계로 수렴한다면 가능한 한계는 안정법칙입니다

유한분산 입력은 Gaussian α=2로 이어지고 적절한 정칙변동 입력은 α<2 안정한계로 이어질 수 있습니다

합산척도는 √n이 아니라 n^(1/α)이며 중심화 방법은 α와 매개화에 좌우됩니다

Mandelbrot는 투기가격 변화에 Gaussian 모형보다 큰 움직임이 훨씬 많음을 보고 Stable Paretian 법칙을 제안했습니다

Fama는 Stable Paretian 수익률과 유한분산 없이 분산투자가 작동하는 조건을 연구했습니다

이후 발견된 변동성 군집, 절단꼬리와 국면변화는 정확한 iid 안정성 외에도 무거운 수익률을 설명할 수 있습니다

정확한 α<2 모형은 단지 분산이 크거나 추정하기 어렵다는 것이 아니라 모든 기간에 유한한 모집단 분산이 없다고 말합니다

Tempered stable·절단안정·혼합·점프·GARCH·확률변동성 모형은 유한적률을 유지하며 무거운 유한표본을 흉내 낼 수 있습니다

유한자료로 진짜 무한꼬리와 매우 큰 유한절단점을 구분하기 어려우므로 직선처럼 보이는 로그도표만으로 주장하면 안 됩니다

여러 방법으로 α와 불확실성을 추정하고 특성함수 적합, 분위수, 초과값과 모수안정성을 확인합니다

기간별 합이 예측한 대로 재척도화되는지, 적합 후에도 잔차종속이나 변동성 군집이 남는지 검사합니다

유한분산 대안과 예측 꼬리포함률·의사결정을 비교하고 적합모형에서 존재하지 않는다고 보는 적률을 명시합니다