주성분분석(PCA)이란 무엇인가

PCA는 각 변수에서 평균을 빼 중심화한 자료에 적용합니다. 그렇지 않으면 평균 수준이 변동방향처럼 결과를 지배할 수 있습니다.

가격 수준보다 수익률처럼 의미 있는 변환을 먼저 정해야 합니다. 비정상적인 수준 자료의 큰 추세는 유용한 공통위험으로 오인될 수 있습니다.

결측치, 이상치, 빈도와 표본기간도 공분산을 바꿉니다. PCA 이전의 데이터 설계가 계산 이후의 이름 붙이기보다 중요합니다.

공분산 행렬 PCA는 원래 단위를 보존하므로 변동성이 큰 변수가 더 큰 영향력을 가질 수 있습니다.

표준화 뒤 상관행렬을 쓰면 각 변수의 분산을 1로 맞춥니다. 단위 차이는 줄지만 경제적으로 중요한 규모 정보도 사라질 수 있습니다.

어느 행렬이 옳은지는 목적에 달려 있습니다. 통화별 금리변화처럼 단위가 비슷한 자료와 서로 다른 지표 묶음은 같은 선택을 요구하지 않습니다.

첫 주성분은 모든 가능한 단위 방향 가운데 투영된 자료의 표본분산이 가장 큰 축입니다.

두 번째 이후 성분은 앞선 성분과 직교한다는 제약 아래 남은 분산을 순서대로 가장 크게 담습니다.

직교성은 표본 안에서 점수들이 상관되지 않게 합니다. 실제 경제 충격들이 독립이라는 뜻은 아닙니다.

적재량은 원변수를 주성분으로 조합하는 가중치입니다. 각 축이 어떤 변수와 같은 방향 또는 반대 방향인지 보여줍니다.

점수는 각 시점의 관측값을 그 축에 투영한 좌표입니다. 적재량이 방향이라면 점수는 시간에 따라 움직이는 위치입니다.

고유벡터의 부호는 뒤집어도 같은 축입니다. 부호 변화만으로 경제적 관계가 반전됐다고 해석하면 안 됩니다.

각 성분의 고유값은 그 방향의 표본분산이며, 전체 고유값 합으로 나누면 설명분산 비율이 됩니다.

스크리 도표나 누적 설명분산은 성분 수를 고르는 출발점입니다. 80% 같은 고정 기준이 모든 목적에 최적인 것은 아닙니다.

작은 분산 방향에도 예측력이나 헤지 제약이 숨어 있을 수 있습니다. 분산을 많이 설명하는 축이 수익을 잘 예측한다는 보장은 없습니다.

너무 적은 성분은 중요한 구조를 버리고, 너무 많은 성분은 표본 잡음까지 보존합니다.

재구성 오차, 예측 목적의 교차검증, 고유값 간격, 부트스트랩 안정성을 목적에 맞게 함께 비교할 수 있습니다.

롤링 표본에서 적재량과 설명분산을 다시 추정해야 합니다. 전체 표본으로 만든 축을 과거 예측에 쓰면 미래정보가 섞입니다.

수익률곡선 변화는 수준·기울기·곡률과 비슷한 축으로, 주식수익률은 시장 전체와 집단별 공통방향으로 압축될 수 있습니다.

포트폴리오에서는 첫 몇 축에 위험이 얼마나 집중됐는지 보고 명목 종목 수와 실질 분산효과의 차이를 점검할 수 있습니다.

그러나 통계적 축에 ‘성장’이나 ‘유동성’ 같은 이름을 붙이려면 외부 변수, 경제 논리와 다른 표본에서의 검증이 필요합니다.

변수 정의, 변환, 통화와 단위, 중심화·표준화, 결측치와 이상치 처리, 추정기간을 공개합니다.

행렬 종류, 고유값, 설명분산, 적재량, 점수 계산법과 성분 수 기준을 제시해야 결과를 다시 만들 수 있습니다.

표본 밖 성능과 롤링 안정성도 보여줍니다. PCA는 현실의 고정된 진실이 아니라 특정 자료에서 추정한 좌표계입니다.