Lévy 과정과 점프 보상자 이해하기

Lévy 과정 X는 겹치지 않는 구간의 증분이 독립이고 X_{t+h}-X_t의 법칙이 h에만 의존합니다

확률연속성은 고정된 불연속을 확률적으로 배제하고 càdlàg 버전은 우연속이며 왼쪽 극한을 가진 경로를 줍니다

따라서 증분법칙이 시간동질적이라는 강한 가정을 가지며 이는 해석에 유용하지만 자료에서 검증해야 합니다

절단관행을 정하면 삼중항 (b, σ², ν)가 드리프트·브라운 분산·Lévy 점프측도를 나타냅니다

ν는 점프크기별 기대 도착강도를 기록하며 ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞를 만족해야 합니다

절단함수를 바꾸면 표시되는 b가 달라질 수 있지만 모든 항을 일관되게 변환하면 과정의 법칙은 바뀌지 않습니다

특성함수는 E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u))이고 특성지수 ψ는 삼중항으로 정해집니다

정상독립증분은 시간에 따른 합성곱을 곱셈으로 바꾸고 이는 특성지수가 시간에 선형비례하게 만듭니다

이 구조가 Fourier 옵션가격법을 돕지만 수치역변환에는 감쇠·격자·절단 통제가 여전히 필요합니다

분해는 X를 드리프트·브라운 성분·큰 점프와 보상된 작은 점프로 씁니다

어떤 고정 임계값보다 큰 점프의 도착강도는 유한하지만 유한시간에 작은 점프가 무한히 많을 수도 있습니다

무한활동성과 무한변동은 다른 성질이므로 하나에서 다른 하나를 추측하지 말고 ν의 적분조건을 확인해야 합니다

N(dt,dx)가 크기 x의 점프를 세면 Lévy 과정의 보상측도는 dtν(dx)입니다

보상측도 Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx)는 예측가능 도착량을 빼 적절한 예상 밖 점프의 적분을 국소마팅게일로 만듭니다

원시 점프합과 보상적분은 드리프트가 다르므로 유한변동항을 조정하지 않고 바꾸면 모형 자체가 변합니다

자산모형은 흔히 S_t = S_0e^{X_t} 또는 확률지수를 쓰지만 양수성만으로 할인 가격이 마팅게일이 되지는 않습니다

선택한 가격결정측도에서 특성지수가 필요한 지수모멘트와 마팅게일 조건을 만족해야 합니다

점프는 복제되지 않는 위험을 만들어 동등마팅게일측도가 여러 개일 수 있으므로 추가 가격선택 규칙이 필요합니다

Lévy 점프는 순수 확산보다 왜도·두꺼운 꼬리와 단기 변동성 미소를 더 잘 맞출 수 있습니다

정상독립증분은 모형을 확장하지 않는 한 변동성 군집·레버리지 동학과 시간가변 점프강도를 배제합니다

모멘트 존재·작은 점프 절단·마팅게일 보정·보정 안정성·꼬리 외삽과 표본외 헤지오차를 검사하세요