Kolmogorov 전진·후진 방정식의 차이

Markov 과정은 P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x]라는 전이연산자로 미래 함수를 현재 상태로 가져옵니다

Chapman–Kolmogorov 관계 P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u}는 중간시점을 넣어도 전체 전이가 같다는 뜻입니다

전진과 후진방정식은 같은 반군 또는 2-모수 전이가 보이는 서로 다른 미분 관점입니다

dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t이면 생성자는 a=σ²에 대해 L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ입니다

생성자는 상태의 시험함수가 보이는 순간 조건부 변화를 요약합니다

과정·상태공간·정의역과 경계거동이 생성자를 정하므로 형식적 미분식만으로는 완전하지 않습니다

만기함수 g에 대해 u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x]이고 s ≤ t라 둡니다

적절한 정칙성 아래 u는 ∂_s u + L_su = 0과 만기조건 u(t,x) = g(x)를 만족합니다

끝점 함수는 고정하고 조건을 거는 시점 s를 현재 쪽으로 움직이므로 후진이라고 부릅니다

경계항을 처리한 뒤 ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx가 되도록 L_t†를 정의합니다

1차원 확산과정에서는 L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)입니다

수반은 생성자를 시험함수에서 밀도로 옮기며 부분적분에 따라 미분의 방향을 바꿉니다

상태밀도 ρ(t,x)는 초기분포에서 출발해 ∂_tρ = L_t†ρ를 만족합니다

전이밀도에 적용하면 시작점을 고정한 채 목적지 변수와 미래시간을 진화시킵니다

정규화·비음수성·확률흐름과 경계조건이 형식적 해가 실제 확률법칙인지 결정합니다

파생상품 평가는 만기 지급액에서 후진방정식을 풀며 할인은 소멸항을 더합니다

분포예측·익스포저 곡선·밀도 보정과 일부 위험계산은 오늘의 상태분포에서 전진방정식을 풉니다

후진가치는 미래 지급액을 전진 전이밀도에 대해 적분한 값과 같아야 하므로 두 결과는 서로 검증할 수 있습니다

흡수·반사·유입·도달불가능 경계는 서로 다른 가치조건과 확률흐름 조건을 요구합니다

의도한 질량 보존 또는 손실·양수성·초기와 만기자료·수반 이산화와 격자확대 수렴을 확인하세요

독립 Monte Carlo 추정은 어느 PDE 해법에서든 부호·드리프트·경계와 시간방향 오류를 찾는 데 도움이 됩니다