Kalman Filter의 예측과 갱신

각 시점의 필터는 매끈한 선 위 점 하나가 아니라 상태추정치와 오차공분산을 함께 갖습니다.

선형성은 상태와 관측값을 이전 상태와 교란의 affine 함수로 만들고, Gaussian 가정은 조건부분포를 Gaussian으로 유지합니다.

그 모형 아래 조건부 평균은 평균제곱오차를 최소화합니다. 모형 밖에서도 유용할 수 있지만 같은 최적성 주장은 사라집니다.

전이행렬은 이전 상태추정치를 앞으로 투영합니다. 알려진 통제변수나 입력이 예측평균을 이동시킬 수 있습니다.

공분산도 전파되고 과정잡음만큼 커집니다. 빠르게 변할 수 있는 상태는 관측 사이에 더 불확실해집니다.

이 사전예측은 현재 관측값을 쓰지 않습니다. 갱신과 분리하면 실시간 정보 규율을 감사할 수 있습니다.

Innovation은 실제 관측값에서 측정식이 예측한 값을 뺀 것입니다. 사전상태가 예상하지 못한 부분입니다.

그 분산은 투영된 상태불확실성과 측정잡음을 결합합니다. 원시 오차가 커도 분산이 크다면 평범한 충격일 수 있습니다.

규격이 맞으면 표준화 innovation은 예측 불가능한 잡음과 비슷해야 합니다. 시계열 패턴은 빠진 정보를 드러냅니다.

Gain은 innovation을 상태수정량으로 바꿉니다. 측정값보다 상태예측이 상대적으로 불확실할수록 커집니다.

관측잡음이 크면 gain이 작아 필터가 덜 움직이고, 측정값이 정밀하면 놀라움의 더 많은 부분이 상태수정이 됩니다.

일반적으로 고정 평활모수가 아닙니다. 공분산, 결측자료, 시간가변 시스템 행렬에 따라 변합니다.

관측 뒤에는 불확실성이 해소되어 상태공분산이 줄고, 다음 예측에서는 과정잡음 때문에 다시 커집니다.

반올림이 비대칭이나 양의 준정부호가 아닌 행렬을 만들 수 있어 수치적으로 안정적인 공분산 공식이 중요합니다.

필터 공분산만 쓴 신뢰구간은 모수 불확실성을 빠뜨릴 수 있습니다. 전이·잡음모수 추정에는 별도 오차가 있습니다.

초기상태는 알려짐, 정상분포, 추정, diffuse 조건으로 둘 수 있습니다. 초기 필터값은 이 선택에 크게 의존할 수 있습니다.

예측오차와 분산으로 Gaussian 우도를 만들어 미지 모수를 추정합니다. 선을 보기 좋게 하려고 잡음수준만 조정하면 안 됩니다.

초기화, 보류예측, 경계추정치를 비교합니다. 0에 가까운 분산이나 1에 가까운 지속성은 약한 식별 신호일 수 있습니다.

Extended Filter는 비선형 함수를 국소 선형화하고, Unscented Filter는 선택점을 전파하며, Particle Filter는 상태분포를 모의합니다.

자동으로 더 정확한 것은 아닙니다. 강한 비선형, 두꺼운 꼬리, 다봉분포는 방법별 진단을 요구합니다.

모든 시장상황에 하나의 선형 Gaussian 재귀를 강요하기보다 이상치 강건 측정모형이나 국면전환이 더 적합할 수 있습니다.

잡음 섞인 호가에서 효율가격, 시간가변 beta, 수익률곡선 잠재요인, 변하는 hedge ratio를 추정할 수 있습니다.

추정치는 모형과 모수를 조건으로 합니다. ‘예측’이라는 단어를 쓴다고 내일 수익률을 알려주는 것은 아닙니다.

각 날짜에 실제 이용 가능했던 정보로 한 단계 innovation, 롤링 예측, 상태수정, 회전율, 거래비용을 평가합니다.