Implied Volatility는 어떻게 계산하는가

정방향 계산은 변동성을 입력해 옵션 이론가를 구하고, 역방향 계산은 관측가격에 맞는 변동성을 찾습니다.

현물, 행사가, 시간, 금리, 배당과 exercise style을 고정해야 σ 하나만 미지수로 남습니다.

입력 중 하나라도 바꾸면 새 역문제입니다. 두 플랫폼의 IV 차이가 solver 오류보다 가격시각과 carry 차이일 수 있습니다.

유럽형 Call과 Put은 할인된 intrinsic lower bound와 no-arbitrage upper bound 사이에 있어야 합니다.

선택한 시장가격이 범위 밖이면 양의 유한 IV 해가 없으며 반복횟수를 늘려 해결할 수 없습니다.

교차된 호가, stale underlying, 잘못된 배당·만기·승수나 American 가격을 European 공식에 넣으면 범위를 어길 수 있습니다.

표준 유럽형 Vanilla 옵션에서 다른 입력을 고정하면 변동성이 높을수록 Call과 Put 가격이 올라갑니다.

이 양의 Vega 때문에 유효한 가격에는 보통 하나의 IV가 존재해 1차원 root finding이 가능합니다.

모든 파생상품이 같은 성질을 갖는 것은 아닙니다. 복잡한 payoff나 모형에서는 해가 여러 개이거나 없을 수 있습니다.

현재 추정 σ_n에서 모형가격과 목표가격 차이를 계산하고 그 차이를 Vega로 나눠 다음 σ를 정합니다.

식은 σ_(n+1)=σ_n−(ModelPrice−MarketPrice)/Vega이며, 좋은 초기값과 충분한 Vega에서 매우 빠릅니다.

갱신값이 음수나 과도한 상한을 넘으면 clamp, damping 또는 안전한 구간법으로 전환해야 합니다.

낮은 변동성과 높은 변동성 경계에서 가격오차 부호가 다르면 그 사이에 해가 있습니다.

매 반복마다 중간 변동성을 평가해 해가 있는 절반만 남기므로 수렴속도는 일정하고 도함수가 필요 없습니다.

실무 solver는 Newton의 속도와 이분법·Brent 방식의 안전장치를 결합할 수 있습니다.

깊은 ITM·OTM, 만기 직전 옵션은 Vega가 작아 1센트 가격차이가 큰 IV 차이로 변환될 수 있습니다.

이는 수치 알고리즘만의 결함이 아니라 가격에서 변동성을 식별할 정보가 부족한 ill-conditioned 역문제입니다.

IV 소수점 자릿수를 많이 표시해도 정보가 늘지 않습니다. bid와 ask를 각각 역산한 IV 구간이 더 정직할 수 있습니다.

last는 오래된 거래일 수 있고 mid는 체결 가능한 가격이 아니며 mark는 플랫폼별 규칙이 다릅니다.

bid IV와 ask IV, quote time, underlying price를 함께 보관해야 spread가 IV 불확실성으로 어떻게 번지는지 알 수 있습니다.

American 주식옵션은 조기행사와 이산배당을 반영한 가격모형을 써야 하며 Black–Scholes IV와 차이가 날 수 있습니다.

solver 이름보다 목표가격, 모형, 초기값, 변동성 상하한, 허용오차와 최대반복을 공개합니다.

구한 IV를 가격식에 다시 넣어 가격잔차가 tick size와 요구정밀도 안인지 확인합니다.

실패를 임의 기본 IV로 바꾸지 말고 no solution, boundary price, low Vega 같은 원인을 명시합니다.