Feynman–Kac 공식과 옵션 가격결정

dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s라 하고 생성자를 Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ로 둡니다

생성자는 상태의 매끄러운 함수가 순간적으로 보이는 조건부 변화를 요약합니다

이는 경로모형과 미분방정식을 잇지만 미분불가능한 확률경로 자체에 보통 도함수가 있다고 주장하지는 않습니다

∂_t u + Lu - r u + f = 0과 만기조건 u(T,x) = g(x)를 생각합니다

g는 만기 지급액, r은 소멸률 또는 할인율, f는 누적 원천항이며 부호는 명시한 PDE 관행을 따릅니다

상태확산은 앞으로 움직이지만 T의 만기값을 알고 있으므로 가치평가는 시간을 거꾸로 풉니다

정칙성과 적분가능 조건 아래 u(t,x)는 할인한 g(X_T)와 누적 f의 조건부기대값입니다

D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv)이면 E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]입니다

D_{t,s}u(s,X_s)에 Itô 공식을 적용하면 드리프트가 원천항의 음수가 되고 기대값을 취해 항등식을 얻습니다

상수 단기금리는 익숙한 e^{-r(T-t)}를 주지만 상태의존 금리는 경로별 적분이 필요합니다

기간 중 배당·쿠폰·비용이나 원천항은 만기 지급액에 숨기지 않고 시간적분으로 들어갑니다

PDE의 부호를 바꾸면 표현식도 바뀌므로 연산자·만기조건·시간방향을 한 묶음으로 옮겨야 합니다

유효한 가격결정측도 아래 할인 거래자산 동학이 L을 정하고 파생상품 가치는 대응하는 가격결정 PDE를 만족합니다

기간 중 지급이 없는 유럽형 청구권의 가격은 만기 지급액을 할인한 조건부기대값입니다

Black–Scholes는 이 다리의 한 사례일 뿐 Feynman–Kac의 정의도 아니고 모든 시장이 완전하다는 증거도 아닙니다

유한차분법은 격자에서 후진방정식을 풀고 Monte Carlo는 전진경로 기대값을 추정합니다

독립적인 두 구현의 일치는 부호·할인·경계조건과 표본오차를 검사하는 강력한 방법입니다

저차원 곡면과 경계에는 PDE가 유리하고 상태가 많거나 경로함수가 격자를 비싸게 만들면 시뮬레이션이 유리합니다

고전적 정리는 계수·성장·정칙성·적분가능성과 유일성 조건이 필요하고 약한 점성해 이론이 적용범위를 넓힙니다

미국형 행사는 장애물 또는 변분부등식을 만들며 비선형 자금조달이나 제어문제는 단순 선형 공식에 맞지 않습니다

점프는 확산 PDE를 적분미분방정식으로 바꾸고 경로의존성은 보통 상태확장이나 다른 방법을 요구합니다