위험분위수의 Cornish–Fisher 전개 이해하기

확률 p에 대해 z_p=Φ^{-1}(p)를 표준정규분위수라고 합니다

Cornish–Fisher는 z_p를 보정한 뒤 목표 평균 μ와 표준편차 σ로 다시 척도화합니다

p에 해당하는 문턱값을 답하지만 그 값을 넘는 밀도나 평균손실까지 알려주지는 않습니다

표준화 왜도 γ₁과 초과첨도 γ₂를 쓰면 대표 절단식은 z_p+γ₁(z_p²−1)/6에서 시작합니다

여기에 γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36을 더한 뒤 σ를 곱하고 μ를 더합니다

γ₁² 항은 점근 차수가 고차 적률마다 보정 하나씩 더하는 순서와 다르다는 사실을 보여줍니다

Cornish–Fisher는 누적분포의 Edgeworth 근사를 역으로 풀어 유도할 수 있습니다

Edgeworth는 주어진 x의 밀도나 CDF를, Cornish–Fisher는 선택한 누적확률을 만드는 x를 근사합니다

두 방법 모두 통제된 절단차수를 말하려면 확률변수열과 누적량의 척도규칙을 선언해야 합니다

현실 수익률 입력은 과거 또는 예측 VaR 시나리오를 보정하지만 옵션 내재 누적량은 위험중립 분포를 설명합니다

둘 다 왜도와 첨도라는 말을 써도 서로 다른 질문에 답하므로 아무 구분 없이 섞으면 안 됩니다

Cornish–Fisher는 문턱값만 주며 그 너머의 전체 손실분포가 필요한 기대손실을 자체적으로 계산하지 못합니다

다항 보정은 |z_p|가 클수록 빠르게 커져 p가 증가해도 추정 분위수가 감소할 수 있습니다

큰 왜도나 첨도는 근사값을 변수의 지지집합 밖에 두거나 의도한 꼬리 순서를 뒤집을 수 있습니다

단조 재배열은 순서를 수치적으로 고치지만 수선한 곡선은 더 이상 원래의 절단 전개식과 같지 않습니다

표본 왜도와 첨도는 이상치, 관측창, 국면변화와 시계열 종속성에 민감하고 잡음이 큽니다

추정한 입력을 참값처럼 쓰면 형식적 점근 보정보다 더 클 수 있는 모수 불확실성을 무시하게 됩니다

극단 꼬리확률은 계수오차와 절단오차를 함께 증폭하며 바로 그 영역에서 위험결정의 영향도 가장 큽니다

촘촘한 확률격자에서 q(p)의 단조성, 유한성, 지지집합 제약과 합리적인 끝점 거동을 확인합니다

여러 확률수준에서 정확한 분포, 모의실험, bootstrap 구간과 표본외 초과빈도에 비교합니다

누적량 규약, 표본기간, 종속성 처리, 절단차수, 수선방법과 별도의 기대손실 계산을 기록합니다