금융의 Cameron–Martin 정리 이해하기

비퇴화 Gaussian 벡터는 어떤 고정된 유한 벡터만큼 옮겨도 원래 Gaussian 법칙과 동등한 밀도를 가집니다

우도비는 이동량과 관측 벡터가 들어간 지수식으로 표현됩니다

하지만 Wiener 측도는 무한차원 경로공간에 있으므로 모든 결정적 경로 이동이 무해하지는 않습니다

[0,T]의 브라운 운동에서 Cameron–Martin 경로 h는 0에서 시작하고 절대연속이어야 합니다

그 도함수 h′가 제곱적분가능해 ∫₀ᵀ|h′(t)|²dt라는 에너지가 유한해야 합니다

이 경로들은 Hilbert 공간을 이루지만 전형적인 브라운 표본경로 자체는 거의 확실하게 이 공간에 속하지 않습니다

h가 Cameron–Martin 공간에 속하면 W와 W+h의 법칙은 서로 절대연속입니다

Radon–Nikodym 밀도에는 h′와 W의 선형 적분항과 에너지 절반을 빼는 지수 보정이 들어갑니다

동등성은 두 법칙의 영확률 사건이 같다는 뜻이지 모든 사건의 확률이 그대로라는 뜻은 아닙니다

결정적 이동이 필요한 유한 에너지를 갖지 않으면 이동된 Wiener 측도와 원래 측도는 일반적으로 서로 특이합니다

각 측도가 집중하는 집합을 다른 측도는 영집합으로 보게 되며 유한차원 Gaussian에서는 없는 현상입니다

이 날카로운 경계가 정리의 핵심이며 허용된 우도비 공식만 기억해서는 전체 의미를 놓칩니다

Cameron–Martin은 결정적 평행이동을 다루고 Girsanov는 조건을 만족하는 적응적 확률 드리프트 변화를 허용합니다

둘 다 지수밀도와 제곱적분 개념을 쓰지만 Girsanov에서는 명시한 조건 아래 밀도과정이 진짜 마팅게일이어야 합니다

모든 드리프트 변화를 Cameron–Martin이라 부르면 고정된 기하학적 이동과 확률적 측도변환의 차이가 사라집니다

위험중립 드리프트 변경, 우도비 민감도, 중요도 표본추출과 Gaussian 금리모형에는 관련된 경로 재가중이 쓰입니다

희귀 지급 영역이 더 자주 나오도록 이동을 고른 뒤 밀도로 표본평균을 보정하면 시뮬레이션 효율을 높일 수 있습니다

Malliavin 방법도 Cameron–Martin 방향을 이용해 경로의존 함수의 미분과 Greeks 추정량을 정의합니다

이 정리는 Gaussian 측도의 기하를 다루며 시장완비성, 무차익 또는 현실 수익률의 브라운 동학을 증명하지 않습니다

수학적으로 유효한 이동도 불안정한 시뮬레이션 가중치를 만들거나 점프, 확률변동성과 거래마찰을 빠뜨릴 수 있습니다

계산에 쓰기 전에 경로공간, 공분산, 밀도 부호규약, 적분가능성과 추정량 분산을 확인해야 합니다