Affine 과정과 Riccati 방정식 이해하기

Markov 상태 X에 대해 E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x)를 만족하는 구조를 찾으며 τ=T−t입니다

Affine이라는 말은 조건부 변환의 로그가 상수와 현재 상태의 선형함수 합이라는 뜻입니다

경로는 비선형이고 이분산적이며 점프할 수도 있어 제곱근 분산과 점프 강도도 이 범주에 들어갑니다

대표적인 상태공간은 분산·강도 같은 비음수 좌표와 로그가격 같은 실수 좌표를 함께 둡니다

드리프트, 확산과 점프측도는 과정이 상태공간을 벗어나지 않고 올바른 Markov 법칙을 이루도록 허용가능 조건을 만족해야 합니다

식이 affine처럼 보여도 음의 분산, 폭발하는 점프 활동이나 존재조건 실패가 있으면 유효한 모형이 아닙니다

하나의 변환이 특성함수, Laplace 변환, 적률, 채권가격과 할인된 지급의 구성요소를 담을 수 있습니다

전이밀도 전체를 복원하는 대신 가격식이 요구하는 복소 인수에서 φ와 ψ를 계산합니다

확률모형은 변환을 제공하고 역변환이나 지급함수 변환이 가격으로 바꾸는 역할분담이 계산 효율의 핵심입니다

지수-아핀 가정을 생성작용소 방정식에 넣으면 상수항은 φ로, 상태에 선형인 항은 ψ로 모입니다

그 결과 ∂τφ=F(ψ), ∂τψ=R(ψ) 같은 연립계와 초기조건 φ(0,u)=0, ψ(0,u)=u를 얻습니다

확산항은 R에 이차항을 만들고 점프는 변환 적분을 더하므로 일반화 Riccati 방정식이라 부릅니다

CIR은 비음수 제곱근 상태를 쓰고 Heston은 로그가격과 제곱근 분산을 결합하면서 결합변환의 affine 구조를 보존합니다

Affine 기간구조·신용 모형은 단기금리, 부도강도나 점프 보상항을 상태의 affine 함수로 둘 수 있습니다

변환 구조가 같아도 모형은 같지 않으며 상태 제약, 꼬리 행동과 경제적 의미가 서로 다릅니다

실수 주파수의 특성함수는 존재하지만 복소 인수에서 필요한 지수적 적률은 제한된 영역에서만 유한할 수 있습니다

Riccati 해가 유한 만기에서 폭발하면 기초 확률과정의 소멸이 아니라 해당 적률의 실패를 뜻할 수 있습니다

폐쇄형 식도 제곱근과 로그의 가지를 일관되게 골라야 하며 대수적으로 같은 식이 부동소수점에서는 다르게 움직일 수 있습니다

옵션을 계산하기 전에 초기값, 반군 관계, 켤레대칭, 마팅게일 조건과 알려진 극한 사례를 확인합니다

만기·모수 격자 전체에서 Riccati 풀이, 변환 영역, 가지 연속성과 허용오차 민감도를 감시해야 합니다

Affine 계산가능성은 큰 문제를 작은 문제로 바꿀 뿐 보정위험, 수치오차와 모형 오지정을 없애지는 않습니다