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作為自由邊界的行使閱讀約15分鐘
變分不等式與美式期權自由邊界
理解美式期權如何結合支付障礙、延續區域PDE、互補條件、自由邊界、平滑貼合與數值檢驗
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
美式期權的變分不等式結合兩個要求：價值不能低於立即行使支付，並且在等待最優的區域滿足延續定價方程。兩項條件接觸的位置，會與期權價值一起決定未知的最優行使邊界，因此邊界本身亦是解的一部分
立即行使形成支付障礙
令g(t,S)為行使支付，V(t,S)為美式期權價值
持有人可以立即行使，因此到期前每個容許時點和狀態都滿足V ≥ g
所以支付不只是終端條件，也是位於價值曲面下方的障礙
延續區域服從定價方程
在V > g處，立即行使不是最優，期權仍然存續
在延續區域，擴散模型給出∂_tV + LV - rV + f = 0，並調整股息或期間現金流
方程只在選擇延續時成立；若在行使區域亦強制成立，就忽略了停止權
互補條件連接兩個區域
一種常見符號約定是max(g-V, ∂_tV + LV - rV + f) = 0
因此V-g ≥ 0，延續殘差具有相容符號，並且每一點至少有一項取等號
等價的min形式會反轉符號，所以算子和不等式約定必須同時核對
行使邊界也是解的一部分
V = g的集合是停止區域，V > g的集合是延續區域
兩者界面的位置在求解前未知，因此稱為自由邊界
標準美式認沽期權常有隨時間變化的臨界標的價格，但利率、股息、跳躍和約束會改變形狀
價值貼合比平滑貼合更普遍
在正則邊界，價值貼合給出V = g，平滑貼合還可能使一階導數相等
平滑貼合需要額外路徑與正則條件；跳躍、支付折角、不規則邊界或約束都可能使其失敗
它是應在具體模型中證明的定理，而非最優行使的普遍定義
數值方法求解互補問題
有限差分網格在每個時間步產生線性互補問題
投影SOR、罰函數、策略迭代、邊界固定和迴歸停止規則，是對同一選擇問題的不同近似
檢查障礙支配、殘差互補、邊界單調性、網格收斂和實際行使策略給出的下界
經濟輸入會重塑邊界
無股息股票的美式認購期權在標準正利率下通常不提前行使，但例外條件很重要
股息、負利率、借券成本、離散支付、結算規則和行使截止時間都可能推翻熟悉結論
應使用實際合約與狀態變數；簡化模型中的平滑邊界不能證明可交易的行使規則
常見問題
美式期權的變分不等式是甚麼？
它用一個互補條件同時表達立即行使權利與延續持有時的定價方程
甚麼是自由邊界？
它是分隔最優行使狀態與最優延續持有狀態的未知界面
平滑貼合總是成立嗎？
不是。它需要正則性與適當路徑行為，在跳躍、折角、約束或不規則停止點可能失敗
如何數值求解變分不等式？
常用投影迭代、罰函數、策略迭代、邊界固定和支援互補條件的有限差分法
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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