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逐狀態定價12分鐘
阿羅–德布魯狀態價格：每種未來狀態值多少
解釋阿羅–德布魯證券與狀態價格、它和現實概率的分別，以及如何從期權價格提取風險中性密度
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
阿羅–德布魯狀態價格，是只在指定未來狀態出現時支付一單位的基本證券現價。若每個狀態都能交易或複製，複雜支付亦可按各狀態支付乘以狀態價格後加總定價；狀態價格包含風險價值，並不等同現實概率
基本證券只在一個狀態支付
未來狀態有限時，阿羅–德布魯證券在指定狀態支付1，其餘狀態支付0
像向量基底一樣，組合各狀態證券可建立任何逐狀態支付，這是完備市場的核心表達
即使沒有直接交易，只要現有資產能複製同一支付，無套利條件亦可確定價格
複雜支付可分成狀態總和
狀態s的支付為X_s、狀態價格為q_s時，現價是P = Σ q_s X_s
在所有狀態都支付1的無風險債券等於全部狀態證券之和，價格因此是Σ q_s
此分解把非線性合約的到期支付轉為線性定價問題
狀態價格不是現實概率
現實概率p_s與隨機折現因子m_s給出q_s = p_s m_s，兼具可能性和該狀態下資金的價值
壞狀態即使機會較低，亦可能因保險價值高而有較高狀態價格
把q_s除以債券價格才得到風險中性概率；標準化前它是現值，不必加總為1
期權組合逼近狹窄狀態索償權
三個相近行使價組成的蝶式價差，會在狹窄的到期價格範圍產生正支付
縮小行使價距離後，支付越來越像只對某個終值附近有反應的狀態索償權
所以同期限期權的行使價橫切面包含市場對未來價格狀態給予的相對權重
認購期權曲率連結隱含密度
在理想歐式期權與平滑價格曲線下，認購價按行使價的二階導數是折現後的風險中性密度
Breeden–Litzenberger結果使用同一到期日的完整行使價橫切面，而非單一期權
經折現與期限標準化後得到的是定價密度，並非現實世界的頻率預測
無套利限制曲線形狀
認購價不能隨行使價上升，並須保持凸性，否則垂直或蝶式差價可形成套利
凸性保障提取的狀態價格非負；不當插值即使穿過報價點亦可能破壞它
不完備市場中，觀察價格未必唯一決定不可交易支付的狀態價格延伸
真實數據令反演變得困難
稀疏行使價、過時報價與寬闊買賣差價會令二階導數大幅放大微小雜訊
美式提早行使、股息、利率、現貨或期貨基準、交收方式和時間差異亦會扭曲結果
應披露原始數據、無套利修正、插值平滑、尾部外推和折現輸入，並檢查重定價誤差
常見問題
甚麼是阿羅–德布魯證券？
它是在指定未來狀態支付1、在其他所有狀態支付0的理論基本證券
狀態價格等於風險中性概率嗎？
不直接相等；把狀態價格除以無風險債券價格並標準化至總和1才得到風險中性概率
能從期權價格取得狀態價格嗎？
理想條件下，同期限認購價格曲線對行使價的曲率給出折現後的風險中性密度
狀態價格可以是負數嗎？
強無套利條件下不可以；負估計通常反映數據雜訊、報價矛盾或插值不當
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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