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一個迴歸係數究竟比較甚麼約16分鐘
OLS迴歸係數與基本假設
理解最小平方法的目標、條件係數、殘差、外生性、多重共線性、同方差性，以及金融迴歸的正確解讀方式
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
普通最小平方法選擇令觀測值與線性擬合值之間殘差平方和最小的係數。一個係數表示其他已納入變量不變時，解釋變量相差一個單位所對應的結果平均線性差異。若要把這種描述性投影解讀為因果效應，還需要誤差條件均值為零等額外假設；高R²或小殘差不能證明這些假設
OLS最小化殘差平方和
在y=Xβ+u中，OLS選擇令觀測值與擬合值Xβ之差的平方和最小的β
設計矩陣各欄滿秩時，解通常寫成β̂=(X′X)⁻¹X′y
平方會重罰大誤差，計算因而簡潔，但資料錯誤和高影響力離群值也可能明顯改變結果
係數是條件線性比較
βj是在其他已納入變量取值相同時，xj相差一個單位所對應的y擬合差異
Frisch–Waugh–Lovell結果指出，分別從y和xj移除其他控制變量的線性部分，再迴歸兩個剩餘部分，會得到相同係數
所以係數含義依賴控制變量、函數形式、單位與樣本，並不等於兩個原始變量的簡單相關性
線性是針對參數而言
線性迴歸要求係數以線性方式進入模型，解釋變量仍可包括對數、平方、分段函數、虛擬變量與交互項
有交互項時，一個變量的邊際關係隨另一變量改變，不能孤立解讀主效應
外推把選定函數形式延伸到沒有資料支持的區間，是比樣本內擬合良好更強的主張
不同假設提供不同保證
誤差條件均值為零表示遺漏部分不能被已納入解釋變量系統預測，是一致性與結構解讀的核心
同方差性要求不同解釋變量取值下誤差條件方差相同，主要關乎經典標準誤公式與效率，而非係數是否無偏
計算OLS不要求誤差常態，但在經典模型下，常態性可支持小樣本精確t與F推論
殘差不是看不見的總體誤差
殘差e=y−Xβ̂是同一樣本估計出的擬合值與觀測值之差，總體擾動u本身仍未被觀察
含截距的OLS會在樣本中令殘差與解釋變量正交，所以樣本相關為零不是外生性的獨立證據
殘差圖能提示非線性、方差變化、群集、序列依賴與離群值，卻不能認證模型正確
金融資料經常衝擊經典假設
回報具有波幅群集與尾部事件，重疊持有期回報還會因構造方式產生序列相關
公司面板既可能有公司內持續性，也可能有同日共同衝擊，簡單的觀測獨立假設難以成立
水平序列趨勢、倖存者偏差、同步價格發現與測量誤差，都可能令顯著係數看起來過度結構化
同時報告係數與不確定性
先說明估計目標、樣本、單位、變換、控制變量、固定效應、缺失處理與協方差估計方法
為係數配上標準誤或區間，把數值換算為現實變化，並檢驗高影響觀測與可辯護替代設定的敏感度
識別是否可信、關係能否跨時間或樣本維持，應與R²、符號和統計顯著性分開評估
常見問題
OLS迴歸係數表示甚麼？
它表示其他已納入變量不變時，一個解釋變量相差一單位所對應的結果平均擬合線性差異
線性迴歸不能描述曲線關係嗎？
可以，只要參數仍以線性方式進入模型，便能使用對數、冪次、分段函數和交互項
多重共線性會令係數有偏嗎？
非完全共線性本身不製造偏差，但會放大標準誤，並令係數對樣本更敏感
強健標準誤能解決OLS假設問題嗎？
不能。它只放寬部分協方差假設，無法修復內生性、錯誤函數形式或樣本選擇造成的係數偏差
資料來源與延伸閱讀
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