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哪些Gaussian路徑平移可行閱讀約15分鐘
金融中的Cameron–Martin定理詳解
理解哪些平移保留Wiener測度同等性、Cameron–Martin空間包含甚麼，以及它與Girsanov和金融的連繫
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Cameron–Martin定理確定哪些決定性路徑平移能令平移後的Wiener測度仍與原測度同等。可行平移組成由有限能量路徑構成的Hilbert空間；超出該空間的平移通常會產生與原測度互相奇異的測度
有限維平移較為簡單
非退化Gaussian向量平移任何固定有限向量後，仍有與原Gaussian分布同等的密度
似然比是一個包含平移量與觀察向量的指數表達式
Wiener測度位於無限維路徑空間，並非每種決定性路徑平移都沒有影響
有限能量路徑構成可行空間
對[0,T]上的Brown運動，Cameron–Martin路徑h由零開始並且絕對連續
其導數h′必須平方可積，令能量∫₀ᵀ|h′(t)|²dt有限
這些路徑組成Hilbert空間，但典型Brown樣本路徑本身幾乎必然不在其中
可行平移改變密度但保留零事件
若h屬於Cameron–Martin空間，W與W+h的分布互相絕對連續
其Radon–Nikodym密度包含h′對W的指數線性項，以及負的半能量修正
同等表示兩種分布對哪些事件概率為零看法一致，並非所有事件概率相同
空間外的平移產生奇異性
若決定性平移不具備所需有限能量，平移後與原Wiener測度通常互相奇異
每個測度都集中於被另一測度視為零集的集合，這是有限維Gaussian沒有的現象
這條明確界線才是定理核心，而不只是可行情況下的似然比公式
Girsanov擴展路徑平移概念
Cameron–Martin處理決定性平移，Girsanov則容許符合條件的適應性隨機漂移變化
兩者都使用指數密度與平方可積概念，但Girsanov還要求密度過程在明確條件下成為真正鞅
把所有漂移變化都稱為Cameron–Martin，會混淆固定幾何平移與隨機測度轉換
金融運用定理背後的路徑幾何
風險中性漂移變化、似然比敏感度、重要性抽樣與Gaussian利率模型都使用相關路徑再加權
選擇平移令罕見支付區域更常出現，再以密度修正樣本平均，可提高模擬效率
Malliavin方法亦以Cameron–Martin方向定義路徑依賴泛函的導數及Greeks估算量
測度同等不保證模型優良
定理討論Gaussian測度幾何，並不證明市場完備、無套戥或現實價格服從Brown動態
數學上有效的平移仍可造成不穩定權重，或忽略跳躍、隨機波幅與交易摩擦
計算前應檢查路徑空間、協方差、密度符號、可積性及估算量方差
常見問題
甚麼是Cameron–Martin空間？
對Brown運動，它是由零開始、絕對連續且導數平方可積的路徑所組成的Hilbert空間
Brown路徑屬於Cameron–Martin空間嗎？
幾乎必然不屬於，典型Brown路徑過於粗糙，而該空間描述可行的平移方向
Cameron–Martin與Girsanov有何不同？
前者使用決定性有限能量路徑平移，後者在密度條件成立時容許適應性隨機漂移變化
定理為何與金融有關？
它為Gaussian路徑再加權、敏感度分析、重要性抽樣與測度轉換直覺提供幾何基礎
資料來源與延伸閱讀
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