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方差不存在時取代鐘形曲線的分佈閱讀約15分鐘
金融中的Stable Distribution與無限方差
理解Alpha-stable分佈、廣義中央極限定理、無限方差、尾部參數、聚合與早期金融證據，以及採用穩定模型前所需的診斷
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Stable Distribution把獨立副本相加並調整位置與尺度後，仍留在同一分佈族。非常態Alpha-stable規律具有冪律尾部與無限方差，因此√n縮放、傳統波幅和方差推斷可能失效。穩定性在數學上一致，但仍是需要實證選擇與驗證的模型
穩定性是加法下的性質
若對獨立副本X_1、X_2和正數a、b，aX_1+bX_2與某個c>0、d下的cX+d同分佈，則該分佈穩定
這種封閉性令總和保持在同一形狀分佈族內，因此自然適合聚合
常態分佈是α=2的穩定成員；穩定並不自動表示重尾或無限方差
四個參數描述一元穩定律
穩定指數α位於(0,2]，偏斜β位於[−1,1]，尺度與位置在聲明參數化下決定大小和中心
α<2時，在非退化條件下尾部以指數α正則變化，極端值遠比常態模型常見
穩定密度通常沒有初等閉式，且參數化尤其在α=1附近不同，所以軟件約定非常重要
矩的存在會改變風險含義
α<2的非常態穩定律具有無限總體方差，即使每個有限數據集的樣本方差都有限
絕對一階矩僅在α>1時有限；α≤1時傳統總體均值通常也不存在
不斷增大的樣本方差或不穩定均值與重尾一致，卻不能單獨證明矩無限
廣義中央極限定理解釋該分佈族
若獨立同分佈變量的標準化總和收斂到非退化極限，可能的極限必為穩定律
有限方差輸入導向Gaussian α=2，適當正則變化輸入則可能導向α<2穩定極限
聚合尺度是n^(1/α)而非√n，中心化方式取決於α和參數化
穩定律擁有悠久金融歷史
Mandelbrot觀察到投機價格變化中的大幅變動遠多於Gaussian模型，因而提出Stable Paretian規律
Fama研究了Stable Paretian回報，以及沒有有限方差時分散投資如何成立
後來發現的波幅聚集、截斷尾部和狀態變化說明，精確iid穩定性並非重尾回報的唯一解釋
無限方差是一項強結構聲明
精確α<2模型代表任何期限都沒有有限總體方差，而不只是方差很大或難以估計
Tempered stable、截斷穩定、混合、跳躍、GARCH和隨機波幅模型可保留有限矩並模擬有限樣本重尾
有限數據難以區分真正無限尾部與非常遙遠的有限截點，因此不能只憑對數圖的一段直線作結論
驗證必須同時檢查聚合與尾部
用多種方法估計α及其不確定性，並檢查特徵函數擬合、分位數、超越值與參數穩定性
檢驗不同期限的總和是否按預測重新縮放，以及擬合後是否仍有殘差依賴或波幅聚集
與有限方差替代模型比較預測尾部覆蓋和決策，並報告擬合模型認為哪些矩不存在
常見問題
甚麼是Stable Distribution？
它是獨立副本相加並調整位置與尺度後，仍屬於同一分佈族的概率分佈
所有Stable Distribution都有無限方差嗎？
不是。Gaussian α=2成員有有限方差，所有α<2的非常態穩定律都有無限方差
為何樣本方差仍是有限數？
任何有限個有限觀測算出的方差都有限，即使模型的總體二階矩無限
金融回報真的服從Alpha-stable嗎？
某些範圍可能相似，但截斷、波幅聚集、混合與狀態變化也能產生相近數據
資料來源與延伸閱讀
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