金融中的最大似然與Bayesian推斷

對數據y與參數θ，似然L(θ;y)=p(y|θ)固定y，並把抽樣密度看成θ的函數

它不是θ為真的概率；乘以與θ無關的常數也不會改變似然比較

觀測過程、依賴、刪失、交易成本和缺失機制都應在估計開始前進入模型

MLE θ̂最大化似然或對數似然，並可在正則性與正確設定下具有一致性、漸近常態性和效率

曲率、輪廓似然、夾心估計或Bootstrap可以量化點估計周圍的不確定性

邊界參數、弱識別、多峰、小樣本和重尾會令標準漸近誤差不可靠

Bayes規則p(θ|y)∝p(y|θ)p(θ)把似然與適當或有數學依據的先驗結合

後驗摘要可包括均值、中位數、可信區間、尾部概率及衍生風險量的完整分佈

後驗以模型和先驗為條件，並非已找到真實數據生成過程的無條件證明

最大後驗估計最大化對數似然與對數先驗之和，數值上可類似懲罰優化

密度眾數依賴坐標，非線性重新參數化會改變MAP，而後驗概率會一致變換

把Bayesian推斷縮減為單個MAP點會丟棄參數不確定性，並令它看起來比實際更像MLE

弱資訊先驗可正則化不穩定參數、約束合理尺度並排除不可能區域

頻率學派的懲罰也能提供類似數值收縮，而不把懲罰解釋為概率分佈

應報告對先驗族、超參數、約束與參數化的敏感性，而不是隱藏在預設值之後

短歷史、稀有危機、潛在波幅、非平穩性和變化的市場微觀結構令漸近資訊稀缺

若僵化似然把結構斷點當作許多確認觀測，後驗可能非常狹窄卻錯誤

滾動估計、層級匯集、狀態空間動態、穩健似然與明確斷點模型解決不同問題並加入不同假設

在真正留出的未來期間，以對數評分、校準、覆蓋率、尾部損失和決策效用評估預測分佈

Bayesian模型還要檢查先驗與後驗預測、收斂診斷、有效樣本量及敏感性

對任何方法都要比較替代似然與狀態，因為計算收斂不等於統計驗證