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從不完整約束中選擇分佈閱讀約15分鐘
金融中的Maximum Entropy原理
理解矩與期權價格約束下的熵最大化、指數族對偶、參考測度的作用，以及引伸分佈需要通過的檢查
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Maximum Entropy原理在滿足聲明約束的分佈中選擇熵最大的概率分佈。金融中可從矩或期權價格推斷平滑風險中性規律，但「最少資訊」只有相對於所選支撐集、變數、參考測度與約束才有意義
熵為可行分佈排序
對離散概率p_i，Shannon熵為H(p)=−Σ_i p_i log p_i
在p_i≥0、Σ_i p_i=1及Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j等約束下最大化H
結果不會加入超出支撐集、基準表示與聲明約束所強制的擬合結構
解通常具有指數形式
對參考測度m與線性期望約束，常見解為p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)]
對數歸一化ψ令總概率為一，其梯度把模型期望配對到約束值
ψ的Hessian是協方差矩陣，把對偶曲率連接到可識別性與數值條件
連續熵需要參考測度
微分熵在非線性座標變換下會改變，並非不確定性的座標不變量
相對明確先驗或基準m最小化KL(p||m)，可令這種依賴顯性化
改變狀態變數、支撐集、網格或參考m，即使表面約束相同也可改變答案
期權價格成為線性約束
貼現歐式期權價格是收益函數的風險中性期望，因此可以約束終值分佈
歸一化與遠期鞅條件必須和行使價約束、貼現、股息及合約規約一起加入
Buchen–Kelly從期權價格推斷資產分佈，最小交叉熵則可納入先驗規律
可行性先於優化
含噪中間價可違反價格邊界、行使價單調性或凸性，令精確配對的非負分佈不存在
買賣價帶、加權擬合或鬆弛變數可恢復可行性，但每種選擇都會改變施加的資訊
接近可行域邊界的約束可集中質量、推高對偶乘子並惡化數值條件
平滑不是真實的證據
Maximum Entropy從未定集合中選擇一個分佈，並不證明市場服從該分佈
稀疏行使價對尾部識別很弱，熵可能按參考測度而非經濟證據鋪開質量
過多含噪約束會過度擬合，過少約束則隱藏微笑結構與行使價之間的不確定性
驗證要重新定價並擾動
檢查正值性、歸一化、遠期平均值、全部買賣價條件與密集行使價網格的靜態無套利
擾動報價、網格、支撐端點、先驗、約束權重與求解容差，揭示不穩定尾部結論
比較樣本外期權價格，並報告熵選擇、對偶殘差、活躍約束與不確定性
常見問題
甚麼是Maximum Entropy原理？
它在滿足歸一化與指定期望約束的所有概率規律中選擇熵最大的規律
它能找到真實分佈嗎？
不能。它相對於聲明的支撐、參考測度、變數與約束選擇一個最少承諾的分佈
期權價格如何約束分佈？
每個歐式價格提供風險中性終值規律下收益函數的一項貼現期望
為甚麼使用相對熵？
相對熵明確先驗或參考測度，而微分熵會隨座標變換改變
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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