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回答不同問題的兩個極限定理閱讀約15分鐘
大數定律與中央極限定理比較
比較樣本均值的收斂與其誤差分佈，包括弱和強大數定律、縮放、依賴、遍歷性及金融解釋
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
大數定律說，在適當條件下樣本均值趨近總體均值。中央極限定理描述圍繞該極限的隨機誤差經過縮放後的分佈，並常給出常態近似。大數定律回答均值去向何處，中央極限定理回答它在途中如何波動
兩個定理回答不同問題
對均值為μ的觀測X_1,…,X_n，樣本均值是X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i
大數定律問X̄_n是否隨n增大接近μ，中央極限定理問√n(X̄_n−μ)等縮放差異的極限分佈
收斂到正確數值本身並不給出誤差速度、形狀、置信區間或有用的有限樣本近似
弱大數定律使用依概率收斂
弱定律說明，對每個ε>0都有P(|X̄_n−μ|>ε)→0
它代表固定大小誤差的概率消失，並非每條實現路徑最終都會永遠保持接近
對iid觀測，有限期望足以支持廣泛的弱定律，而簡單方差證明通常額外假設有限方差
強大數定律是逐路徑命題
強定律說明X̄_n→μ幾乎必然成立，即在一個概率為零的集合之外所有結果都收斂
幾乎必然收斂蘊含依概率收斂，但沒有額外結構時反向並不成立
強定律仍是漸近命題，不會告訴特定決策容忍度需要多大的n
中央極限定理放大剩餘誤差
對具有正有限方差σ²的iid變量，√n(X̄_n−μ)/σ依分佈收斂到N(0,1)
√n因子阻止縮小誤差坍縮為零，從而揭示其非退化極限形狀
即使經典中央極限定理失敗，大數定律仍可能成立，例如均值存在但方差不存在的重尾情形
依賴需要的不只是一段長歷史
平穩遍歷過程可能滿足大數定律，而中央極限定理還需要更嚴格地控制依賴與波動
金融時間序列的均值、方差、持倉、流動性與狀態會變化，長記錄未必像來自同一規律的重複抽樣
來自同一危機群或過時狀態的更多觀測，所增加的有效資訊可能遠少於行數
分散化使用相關但獨立的邏輯
在許多弱依賴持倉中，個別衝擊的平均可能穩定，體現類似大數定律的效應
共同因子、尾部依賴、集中權重和相關違約不會僅因持有很多名稱而消失
同樣，當投資機會集本身變化時，長期平均回報不保證揭示永久預期回報
實務推斷需要兩類診斷
繪製運行均值和子樣本估計，再檢查依賴、結構斷點、尾部矩與有效樣本量
不要把均值收斂當作不確定性估計，應使用相關中央極限定理或重抽樣方案支持的標準誤
引用任一定理前，報告估計目標、收斂假設、期限、誤差區間及對窗口與狀態的敏感性
常見問題
大數定律與中央極限定理的主要分別是甚麼？
大數定律關注均值向目標收斂，中央極限定理關注目標周圍偏差的縮放分佈
大數定律需要常態數據嗎？
不需要。在相應矩與依賴條件下，它適用於遠超常態分佈的範圍
中央極限定理失敗時大數定律還能成立嗎？
可以。有限均值可令平均收斂，即使無限方差令經典常態中央極限定理失敗
金融數據越多估計就一定越可靠嗎？
不一定。依賴、狀態變化、數據質素和不穩定目標會令有效資訊遠少於觀測數
資料來源與延伸閱讀
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