Laplace方法與最陡下降法比較

考慮λ→∞時的I(λ)=∫_a^b g(x)e^{-λf(x)}dx

f較大的區域受指數抑制，因此f的某個最小值可主導整個積分

該方法用主導點附近f與g的局部展開取代全局積分

若x₀是唯一內部最小值，f″(x₀)>0且g(x₀)≠0，就在x₀附近二次展開f

領先結果為I(λ)≈g(x₀)e^{-λf(x₀)}√[2π/(λf″(x₀))]

端點最小值、零振幅、退化曲率或多個最小值需要不同冪次或貢獻項之和

對路徑積分∫_Γg(z)e^{-λf(z)}dz，鞍點z_s在複平面滿足f′(z_s)=0

把Γ變形到Im f恆定且離開鞍點時Re f增加的路徑，使指數項衰減

只有保持解析性、端點、衰減扇區、方向與分支選擇時，路徑變形才合法

實數Laplace方法關注實指數的極值，最陡下降法選擇複平面的衰減路徑

穩相法處理相位導數為零的振盪實積分，核心可能是抵消而不是純衰減

統計鞍點近似是相關變換應用，但還包含概率專用歸一化與尾部公式

風險中性價格的Fourier與Laplace反演可因期限、行使價或小噪聲尺度產生大參數

主導鞍點比盲目數值積分更直接地揭示領先尾部價格與引伸波幅行為

路徑必須位於特徵函數矩條帶內，並保持貼現與鞅約定

兩個鞍點交換主導地位時，精確積分雖光滑，漸近式卻可跨Stokes線突然改變

合併鞍點或接近端點的鞍點需要一致近似，不能使用彼此分離的高斯項

路徑變形若跨過極點或分支切口，會加入留數或不連續貢獻並徹底改變答案

找出全部候選鞍點，分類曲率，明確追蹤可行下降路徑、奇點與分支切口

在多個λ下把領先項和高階項與直接數值積分比較，並檢查預測誤差尺度

期權價格還要檢驗實數性、正值性、邊界、平價、行使價凸性與不同合法路徑的穩定性