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可預測補償12分鐘
Doob–Meyer分解：如何分開鞅創新與累積漂移
解釋Doob–Meyer如何把次鞅分成不可預測創新與可預測累積，並介紹補償子、信用強度和美式期權的應用
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Doob–Meyer定理把合適次鞅X唯一分解為X = M + A，其中M是鞅，A是從零開始的可預測遞增過程。它把條件平均為零的意外創新，與條件漂移或補償的可預測累積分開，是強度模型與最佳停止的重要基礎
次鞅具有非負條件漂移
適應且可積的過程X若在s ≤ t滿足E[X_t | F_s] ≥ X_s，便是次鞅
其未來條件平均可上升，但單一路徑仍可能下跌；性質針對條件期望
超鞅反轉不等式，並寫成鞅分量減去遞增補償項
遞增過程必須可預測
合適右連續class-D次鞅滿足X_t = M_t + A_t且A_0 = 0
M承載零條件平均創新，A可預測地遞增並記錄累積預期收益
可預測性區分發生前已知的補償與另一個意外衝擊來源
標準化令分解唯一
沒有A_0 = 0，常數可在M和A之間任意移動
在定理的正則性與可預測條件下，兩分量除不可區分版本外唯一
補償子因此是過程和資訊流的性質，不是任意擬合的平滑趨勢
離散時間直接展示構造
對可積適應序列，定義ΔA_n = E[X_n - X_{n-1} | F_{n-1}]
累加可預測增量形成A，從X減去A便留下鞅差分
次鞅的每個ΔA_n非負；連續時間還需更深入的極限和正則性論證
計數過程使用補償子
對可預測強度λ的計數過程N，補償子常為A_t = ∫_0^t λ_s ds
於是N_t - A_t是局部鞅，即實際跳躍減去可預測累積到達率
信用模型藉此在選定資訊流下分離違約意外與強度給出的預期到達
期權理論使用超鞅形式
美式支付的Snell包絡是超鞅，在適當條件下可寫成M - A
A記錄維持對行使支付支配關係所消耗的價值，並連結提早行使結構
存在交易限制或非線性驅動時，選擇分解與反射方程會擴展這套邏輯
估計模型不等於定理
列明測度、資訊流、過程類別、路徑正則性、可積性，以及它是真次鞅還是局部過程
估計強度或漂移只是A的模型；統計平滑不能證明真實過程的可預測性與唯一性
檢查殘差鞅矩、跳躍時點、狀態穩定性、離散化及補償子對資訊集合的敏感度
常見問題
如何簡單理解Doob–Meyer分解？
它把具有向上條件趨勢的過程分為公平的意外變化和可預測累積增長
甚麼是補償子？
它是從次鞅或計數過程減去後留下鞅分量的可預測有限變差過程
遞增過程為何必須可預測？
否則意外變化可在兩分量間任意移動，分解的唯一性和經濟解釋都會消失
它如何用於信用風險？
從違約計數過程減去可預測累積強度，得到局部鞅並分開預期到達與實際衝擊
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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