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用偏度與峰度修正正態分位數閱讀約15分鐘
風險分位數的Cornish–Fisher展開
理解Cornish–Fisher如何用累積量修正正態分位數、與Edgeworth的分別，以及尾部風險估計為何需要單調性與穩定性檢查
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Cornish–Fisher展開用標準化累積量修正參考正態分位數，從而近似目標分佈的分位數。它可把偏度和峰度轉化為情景或VaR門檻調整，但截斷公式可能造成分位數交叉與不可靠的遠尾估計
輸出是分位數而不是密度
對概率p，令z_p=Φ^{-1}(p)為標準正態分位數
Cornish–Fisher先修正z_p，再用目標平均值μ與標準差σ重新縮放
它回答哪個門檻對應p，卻不說明門檻以外的密度或平均損失
偏度與峰度產生首批修正
使用標準化偏度γ₁和超額峰度γ₂，常見截斷式從z_p+γ₁(z_p²−1)/6開始
再加γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36，隨後乘σ並加μ
γ₁²項說明漸近階次並不等於每個更高階矩各增加一個修正
展開來自漸近反演
Cornish–Fisher可透過反演累積分佈的Edgeworth近似推導
Edgeworth近似給定x處的密度或CDF；Cornish–Fisher近似達到選定累積概率的x
若要讓截斷階次受控，兩者都需聲明漸近序列與累積量縮放方式
風險應用需要正確測度
現實回報輸入可調整歷史或預測VaR；期權引伸累積量描述風險中性分佈
兩者回答不同問題，不能因為都使用偏度和峰度就直接混合
Cornish–Fisher只給門檻，無法單獨給出依賴門檻外完整損失分佈的預期損失
分位數可能交叉或倒退
多項式修正隨|z_p|快速增長，可能令估計分位數在p增加時反而下降
較大偏度或峰度也可能把近似推到變數支撐集以外，或顛倒預期尾部順序
單調重排可修復順序，但修復後的曲線已不再是原始截斷展開
估計累積量增加另一層誤差
樣本偏度和峰度雜訊大，對異常值、窗口、狀態變化與時間依賴敏感
把估計輸入當作已知值，會忽略可能超過形式修正本身的參數不確定性
遠尾會同時放大係數誤差和截斷誤差，而該區域的風險決定影響最大
驗證要檢驗整條分位數曲線
在密集概率網格上檢查q(p)的單調性、有限性、支撐約束與合理端點行為
在多個概率水平與精確分佈、模擬、bootstrap區間和樣本外超越率比較
記錄累積量約定、樣本期限、依賴處理、截斷階次、修復方法與獨立預期損失計算
常見問題
Cornish–Fisher展開估計甚麼？
它用正態參考分位數加偏度、峰度與高階累積量修正，估計選定概率的分位數
它與Edgeworth有甚麼分別？
Edgeworth近似某個值的密度或CDF，Cornish–Fisher近似某個概率對應的值
它能計算預期損失嗎？
不能單獨完成。預期損失需要分位數以外的平均損失，而非僅一個修正門檻
為甚麼分位數會交叉？
截斷多項式修正在尾部增長並振盪，使近似分位數函數可能失去單調性
資料來源與延伸閱讀
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